Бинарные отношения.
Пусть A и B – произвольные множества.
Возьмем по одному элементу из каждого множества, a из A, b из B и
запишем их так:
Декартовым
произведением
произвольных множеств A и B (обозначается: AB)
называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар, первый
элемент которых принадлежит A, а второй принадлежит B. По определению: AB = {
Пример 5. Пусть A = {x, y} и B = {1, 2, 3}.
AB = {
BA = {<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.
AA = A 2 = {
BB = B 2 = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.
Бинарным
отношением
на множестве M называется множество некоторых
упорядоченных пар элементов множества M. Если r – бинарное отношение и пара
Пример 6. Множество {<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>} является бинарным отношением на множестве {1, 2, 3, 4, 5}.
Пример 7.
Отношение ³ на множестве целых чисел
является бинарным отношением. Это бесконечное множество упорядоченных пар вида
Пример 8.
Отношение равенства на множестве A является бинарным
отношением: I A = {
Поскольку бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы операции объединения, пересечения, дополнения и разности.
Областью определения бинарного отношения r называется множество D(r) = { x | существует такое y, что xry }. Областью значений бинарного отношения r называется множество R(r) = { y | существует такое x, что xry }.
Отношением, обратным
к бинарному отношению r Í M 2 , называется бинарное отношение r -1 = {
Композицией
бинарных отношений r 1 и r 2 , заданных на множестве M, называется бинарное отношение r 2 o r 1 = {
Пример 9. Пусть бинарное отношение r
задано на множестве M = {a, b, c, d}, r = {
Пусть r – бинарное отношение на множестве M. Отношение r
называется рефлексивным
, если x r x для любого x Î M. Отношение r называется симметричным
, если вместе
с каждой парой
Укажем критерии выполнения этих свойств.
Бинарное отношение r на множестве M рефлексивно тогда и только тогда, когда I M Í r.
Бинарное отношение r симметрично тогда и только тогда, когда r = r ‑1 .
Бинарное отношение r на множестве M антисимметрично тогда и только тогда, когда r Ç r ‑1 = I M .
Бинарное отношение r транзитивно тогда и только тогда, когда r o r Í r.
Пример 10. Отношение из примера 6 является антисимметричным, но не является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Отношение из примера 7 является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, но не является симметричным. Отношение I A обладает всеми четырьмя рассматриваемыми свойствами. Отношения r ‑1 o r и r o r ‑1 являются симметричными, транзитивными, но не являются антисимметричными и рефлексивными.
Отношением эквивалентности на множестве M называется транзитивное, симметричное и рефлексивное на М бинарное отношение.
Отношением частичного порядка на множестве М называется транзитивное, антисимметричное и рефлексивное на М бинарное отношение r.
Пример 11. Отношение из примера 7 является отношением частичного порядка. Отношение I A является отношением эквивалентности и частичного порядка. Отношение параллельности на множестве прямых является отношением эквивалентности.
Понятие отношения наряду с понятием множества «пронизывает» всю математику. Интуитивно отношение понимается как связь объектов. Наша задача заключается в том, чтобы, используя сформулированные выше конструкции теории множеств, определить на математическом языке, что же понимается в математике под термином «отношение».
Бинарные отношения на множестве
Пусть дано множество А. Связь элементов хну множества А моделируется парой (ду>). Если элемент х связан с у, значит, мы имеем пару (л:,у) в качестве элемента некоторого множества; если д; не связан с у , значит, пара (л:^) не является объектом множества. Итак, имеем следующее определение.
Бинарным отношением на множестве А называется произвольное множество пар элементов из А.
Другими словами, бинарное отношение на множестве А - ото подмножество прямого произведения АхА=А 2 . В частности, само множество А 2 всех пар является бинарным отношением.
По аналогии с бинарным (или двуместным) отношением можно рассматривать п-местное отношение на множестве как подмножество прямого произведения А". Мы в основном будем рассматривать бинарные отношения, но для краткости речи говорить просто: «отношение на множестве А».
Обозначим произвольное бинарное отношение греческой буквой р.
Если (л",у)е р, то говорят, что л" находится в отношении р с у, и пишут
Если (ду)?Р> то имеем отрицание соответствующего утверждения. В этом случае наряду с записью ~|(хру) (или хру) пишут д-ру, перечеркивая знак отношения.
Пример 8.1.1. Рассмотрим множество А = {1,2,3,4,5}. Множество пар
определяет на А отношение «меньше», обозначаемое знаком <.>
11а этом же множестве можно рассмотреть другое множество пар
оно определяет отношение равенства.
Пример 8.1.2. Рассмотрим множество {N, Z, Q, I, R} основных числовых множеств и множество пар
Имеем отношение, определенное нами в пункте 2.2 как отношение строгого включения множеств. Заметим, что, например, пара (Q. I) нс лежит в указанном множестве, так как Qczl, более того, эти множества не пересекаются.
Пример 8.1.3. Дано множество слов Л={ток, кот, шок, кол, лак}. Рассмотрим такое отношение:
р = {(ток, шок), (шок, ток), (шок, кол), (кол, шок),
(кол, лак), (лак, кол), (кот, кол), (кол, кот)}.
Это отношение можно выразить таким образом: слова множества А находятся в отношении р тогда и только тогда, когда они имеют ровно две одинаковые буквы.
Заметим, что любое множество пар является отношением, неважно, имеется ли для этого отношения хорошее словесное описание.
Так как отношение является множеством, то его можно задать характеристическим свойством, то сеть предикатом Р(ху): р = {(.*,>>) еЛ 2 Р(ху)}. Также используется запись:
Читают: «г находится в отношении с у тогда и только тогда, когда истинно Р(ху)».
Пример 8.1.4. Определим на множестве/! = {1,2,3,4,5} отношение:
Здесь Р(ху) = (л+2=у). Зададим это отношение перечислением пар:
Пример 8.1.5. Зададим на множестве Z (или на множестве N) отношение с помощью предложения: «Существует целое число /?, такое, что х=п у». Символически можно записать:
Имеем уже определенное ранее отношение делимости, обозначаемое знаком:. Этому отношению принадлежат такие пары, как (6,2), (6,3), (4,4), (111, -37) и другие. В отличие от предыдущих примеров это множество пар бесконечно, и перечислить все пары не удастся.
Рассмотрим важнейшие свойства, которыми могут обладать бинарные отношения на множестве.
Отношение р на множестве А называется рефлексивным , если любой элемент х из А находится в отношении р сам с собой, то есть для всех д; из А выполняется лрт:
Пример 8.1.6. Рассмотрим отношение делимости на множестве Z. Возьмем произвольное целое число х. Так как х=х 9 то х‘:х. Значит, любое целое число делится на само себя: V.veZ (л:л). Поэтому отношение делимости рефлексивно.
Так как любое множество является подмножеством самого себя, то отношение включения множеств рефлексивно (на любой совокупности множеств).
Отношение р на множестве А называется аитирефлексивным , если ни один элемент множества А не находится в отношении р с самим собой:
Пример 8.1.7. R антирефлексивно, так как никакое число не меньше самого себя.
Построим отрицание к предложению «Отношение р рефлексивно»:
Таким образом, отношение р не является рефлексивным тогда и только тогда, когда существует элемент хеА, который не находится в отношении р сам с собой. Отношение, не являющееся рефлексивным, не обязано быть аитирефлексивным.
Пример 8.1.8. Рассмотрим отношение на множестве R, заданное предложением «Число х противоположно числу у». Число х называется противоположным числу у, если сумма х+у равна 0.
Это отношение не рефлексивно. Контрпример: х=1. Так как 1 + 1*0, то число 1 не противоположно 1.
Это отношение нс антирефлексивно. Контрпример: ,v=0. Так как 0+0=0, то число 0 противоположно 0.
Отношение р на множестве А называется симметричным , если из того, что х находится в отношении р с у, следует, что у находится в отношении р с
Пример 8.1.9. Из тождества х+у=у+.х вытекает утверждение: для любых действительных чисел х и у если х противоположно v, то у противоположно х. Значит, данное отношение симметрично. Часто говорят просто: «Числа х и у противоположны».
Отношение «Число х меньше числа у» на множестве R не является симметричным: 3 меньше 4, но 4 не меньше 3.
Отношение р на множестве А называется антисимметричным , если ни для каких различных элементов х и у из А, таких, что хру, не выполняется
урх:
Пример 8.1.10. Отношение «меньше» на множестве R антисимметрично.
Определение антисимметричного отношения можно сформулировать другими способами. Введем обозначения:
Используя таблицу истинности, можно доказать, что формула 1Р л М -равносильна формуле М л К -> Р, которая, в свою очередь, по правилу контрапозиции равносильна 1Р ->~|(Л/ л К). На основании этого можно сказать, что отношение р является антисимметричным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равносильных условий:
А) Из того, что хру и урх, следует х=у:
Б) Никакие различные элементы не могут одновременно находиться в отношении р друг с другом.
Пример 8.1.11. Рассмотрим отношение включения на произвольном семействе множеств. Так как ЛсУл Y^X=>X=Y, то включение е есть антисимметричное отношение.
Пример 8.1.12. Отношение делимости на множестве Z не является ни симметричным, ни антисимметричным. Так как 4:2, но 2?4, то отношение не симметрично. Так как 2:(-2) и (-2):2, но (-2)^2, то отношение не является антисимметричным.
Однако на множестве N натуральных чисел имеем антисимметричное отношение: Vjt^eN (х:у лу:х ->х=у). Проверьте это утверждение, пользуясь определением делимости.
Отношение р на множестве А называется транзитивным , если из того, что х находится в отношении р с у, а у находится в отношении р с z, следует, что.V находится в отношении р с z:
Пример 8.1.13. Отношение делимости транзитивно (и на множестве Z и на множестве N): х:у л у: z => x:z. Покажем это. Пусть х:у и y:z. Тогда х=пу и y=kz для некоторых целых чисел п и к. Тогда х = n(kz) = (nk)z = mz, где т есть целое число. Поэтому xz.
Отношение включения множеств также транзитивно: XcY л YcZ => XezZ. Докажите.
Отношение «Числа х и у противоположны» не является транзитивным. Контрпример: х=2,у=-2, 2=2. Тогда числа 2 и (-2) противоположны, а также (-2) и 2 противоположны. Но числа х=2 и z=2 нс являются противоположными.
Пример 8.1.14. Рассмотрим некоторые примеры отношений из предыдущего пункта.
Отношение из примера 8.1.3 антирефлексивно и симметрично. Отношение из примера 8.1.4 антирефлексивно и антисимметрично. Ни одно из этих отношений нс транзитивно. Докажите это, рассмотрев соответствующие контрпримеры.
Некоторым отношениям, обладающим одновременно рядом свойств, даны общие называния. Из рассмотренных выше примеров одновременно свойствами рефлексивности, антисиммегричности и транзитивности обладают отношение включения множеств с и отношение делимости на множестве N. Также этими тремя свойствами обладает отношение «х меньше либо равно у », определенное на множестве R (или на любом его подмножестве):
Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка.
Множество А , на котором задано отношение порядка р, называется упорядоченным множеством . Пишут (А, р).
В настоящее время теория упорядоченных множеств - это большой раздел математики, которому посвящены целые книги. Мы отметим лишь ряд особенностей понятия «упорядоченное множество».
Интуитивно слова «упорядоченное множество» часто понимаются в более узком смысле. Рассмотрим упорядоченную л-ку, составленную из попарно различных элементов. Например, пятерка букв (III,К,О,Л,А) определяет слово ШКОЛА. В этом случае слова «элементы записаны в определенном порядке» понимаются в том смысле, что мы занумеровали их натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5 и расположили в порядке возрастания номеров. Обобщим этот пример.
Пусть дано «-элементное множество А. Занумеровав каким-то образом ею элементы а, а 2 >а„, мы действительно получим упорядоченное множество, определив отношение порядка следующим образом:
Соотношение понимается так: то, что элемент х связан с другим элементом у, означает, что х записан в кортеже левее у.
Пример 8.1.15. Дано множество /4={а,б.в,г}. Упорядоченная четверка его различных элементов (б,в,а,г) задаст такое отношение порядка:
{(б,б), (б,в), (б,а), (б,г), (в,в), (в,а), (в,г), (а,а), (а,г), (г,г)}.
Заметим, что порядок не обязан обладать так называемым свойством линейности.
Пример 8.1.16. Рассмотрим на множестве А = {2,4,6,8} отношение делимости:. Задайте это отношение множеством пар. Так как в А лежат только натуральные числа, то: отношение порядка. Имеем упорядоченное множество А, :).
Такой порядок нельзя представить в виде упорядоченной четверки следующих друг за другом элементов. Можно привести графическую иллюстрацию отношения с помощью точек и стрелок: из точки х в точку у ведет стрелка тогда и только тогда, когда х:у.
Рассмотрим числа 6 и 4. Ни одно из них нс делится на другое. Говорят, что это несравнимые элементы.
Пусть на множестве А задано отношение порядка р. Элементы * и у называются сравнимыми , если выполняется хотя бы одно из двух соотношений хру или урх.
Порядок р на множестве А называется линейным , если любые два элемента множества А сравнимы. Множество, на котором определен линейный порядок, называется линейно упорядоченным (или цепью).
Пример 8.1.17. Отношение R является линейным порядком, так как Vx^yeR (х Поэтому (R,
упорядоченное множество.
Отношение делимости натуральных чисел в общем случае не является линейным порядком. Контрпример дан в примере 8.1.16.»
Отмстим, что любой линейный порядок на конечном множестве задается нумерацией его элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок может быть нс линейным, упорядоченное множество в общем случае иногда называют частично упорядоченным.
Связанные определения
Свойства отношений
Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как
Виды отношений
- Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
- Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности .
- Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка .
- Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка .
- Полное антисимметричное (для любых x, y выполняется xRy или yRx) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.
- Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.
Виды двухместных отношений
- Обратное отношение [уточнить ] (отношение, обратное к R) - это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R −1 . Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R −1) −1 = R.
- Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) - отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого - областью значений другого.
- Рефлексивное отношение - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого х этого множества элемент х находится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивных отношений: равенство , одновременность , сходство.
- Антирефлексивное отношение (Иррефлексивное отношение, отметим, что также как антисимметричность не совпадает с несимметричностью иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью.) - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), то есть возможен случай, что элемент множества не находится в отношении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
- Транзитивное отношение - двухместное отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRzxRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
- Нетранзитивное отношение [уточнить ] - двухместное отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz ((xRy&yRzxRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
- Симметричное отношение - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), отношение эквивалентности , подобия , одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
- Антисимметричное отношение - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR −1 y следует х = у (то есть R и R −1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
- Асимметричное отношение [уточнить ] - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
- Отношение эквивалентности (отношение тождества [уточнить ] , отношение типа равенства) - двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям): Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке, подобие , одновременность . Пример отношения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».
- Отношения порядка - отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») - «строгий» порядок.
- Функция - двухместное отношение R , определенное на некотором множестве, отличающееся тем, что каждому значению x отношения xRy y . Пример: «y отец x ». Свойство функциональности отношения R записывается в виде аксиомы: (xRy и xRz )→(y ≡z ). Поскольку каждому значению x в выражениях xRy и xRz соответствует одно и то же значение, то y и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку каждому значению x отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение y , но не наоборот.
- Биекция (одно-однозначное отношение) - двухместное отношение R , определенное на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у , и каждому значению у соответствует единственное значение х . Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения.
- Связанное отношение - это двухместное отношение R , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что для любых двух различных элементов х и у из этого множества, одно из них находится в отношении R к другому (то есть выполнено одно из двух соотношений: xRy или yRx ). Пример: отношение «меньше» (<).
Операции над отношениями
Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств , , суть подмножества множества , то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных ,
Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.
Например, , , то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрого порядка, а их пересечение пусто.
Кроме перечисленных важное значение имеют ещё операции обращения и умножения отношений, определяемые следующим образом.
Если , то обратным отношением называется отношение , определённое на паре , и состоящее из тех пар , для которых . Например, .
Пусть теперь , . Произведением отношений , называется отношение такое, что
Если , и , то произведение отношений не определено. Если же отношения рассматривать определённые на каком-то множестве , то такой ситуации не возникает.
Например, рассмотрим отношение строгого порядка определённого на множестве натуральных чисел. Несложно заметить, что
Бинарные отношения и называются перестановочными, если . Несложно заметить, что для любого бинарного отношения , определённого на , , где символом обозначено равенство, определённое на . Однако равенство не всегда справедливо.
Имеют место следующие тождества:
Отметим, что аналоги последних двух тождеств для не имеют места.
Некоторые свойства отношения можно определить, используя операции над отношениями:
См. также
Литература
- А. И. Мальцев. Алгебраические системы. - М .: Наука, 1970.
Wikimedia Foundation . 2010 .
- двуместный предикат на заданном множестве. Под Б. о. иногда понимают подмножество множества упорядоченных пар (а, 6) элементов заданного множества А. Б. о. частный случай отношения. Пусть. Если, то говорят, что элемент находится в бинарном… … Математическая энциклопедияВ логике то, что в отличие от свойства характеризует не отдельный предмет, а пару, тройку и т.д. предметов. Традиционная логика не рассматривала О.; в современной логике О. пропозициональная функция от двух или большего числа переменных. Бинарным … Философская энциклопедия
отношение - ОТНОШЕНИЕ множество упорядоченных п ок индивидов (где п > 1), т.е. двоек, троек и т.д. Число п называется «местностью», или «арностью», О. и, соответственно, говорят о n местном (п арном) О. Так, например, двуместное О. называют… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
В теории потребления это формальное описание способности потребителя сравнивать (упорядочивать по желательности) разные наборы товаров (потребительские наборы). Чтобы описать отношение предпочтения, не обязательно измерять желательность… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. Отношение математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. Отношение в логике первого порядка двух и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух и более предикатное свойство. Знак отношения: R.[уточнить] В терминах отношений… … Википедия, А. И. Широков. Пособие представляет собой седьмую часть раздела «Основные теоретико-множественные конструкции» учебной дисциплины «Дискретная математика». В нем вводится в рассмотрение и анализируется такое… электронная книга
Основы дискретной математики.
Понятие множества. Отношение между множествами.
Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
Объекты, составляющие множество называются элементами множества. Для того чтобы некоторую совокупность объектов можно было называть множеством должны выполняться следующие условия:
· Должно существовать правило, по которому моно определить принадлежит ли элемент к данной совокупности.
· Должно существовать правило, по которому элементы можно отличить друг от друга.
Множества обозначаются заглавными буквами, а его элементы маленькими. Способы задания множеств:
· Перечисление элементов множества. - для конечных множеств.
· Указание характеристического свойства 
.
Пустым множеством – называется множество, не содержащее ни одного элемента (Ø).
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. , A=B
Множество B называется подмножеством множества А ( , тогда и только тогда когда все элементы множества B принадлежат множеству A .
Например: , B =>
Свойство:
Примечание: обычно рассматривают подмножество одного и того е множества, которое называется универсальным (u). Универсальное множество содержит все элементы.
Операции над множествами.
| A |
| B |
2.Пересечением 2-х множеств называется новое множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежат и первому и второму множеству.
Н-р: , ,
Свойство: операции объединения и пересечения.
· Коммутативность. 
· Ассоциативность. ;
· Дистрибутивный. ;
| U |
Бинарные отношения и их свойства.
Пусть А и В это множества производной природы, рассмотрим упорядоченную пару элементов (а, в) а ϵ А, в ϵ В можно рассматривать упорядоченные «энки».
(а 1 , а 2 , а 3 ,…а n) , где а 1 ϵ А 1 ; а 2 ϵ А 2 ; …; а n ϵ А n ;
Декартовым (прямым) произведением множеств А 1 , А 2 , …, А n , называется мн-во, которое состоит из упорядоченных n k вида .
Н-р: М = {1,2,3}
М× М= М 2 = {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.
Подмножества декартова произведения 
называется отношением степени n
или энарным отношением. Если n
=2, то рассматривают бинарные
отношения. При чем говорят, что а 1 , а 2
находятся в бинарном отношении R
, когда а 1 R а 2.
Бинарным отношением на множестве M называется подмножество прямого произведения множества n самого на себя.
М× М= М 2 = {(a, b )| a, b ϵ M } в предыдущем примере отношение меньше на множестве М порождает следующее множество: {(1,2);(1,3); (2,3)}
Бинарные отношения обладают различными свойствами в том числе:
· Рефлексивность: 
.
· Антирефлексивность (иррефлексивность): .
· Симметричность: .
· Антисимметричность: .
· Транзитивность: .
· Асимметричность: .
Виды отношений.
· Отношение эквивалентности;
· Отношение порядка.
v Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
v Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
v Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.
v Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.
Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями,
т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве X = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения X х X, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества X х X.
Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следующим способом:
Определение. Бинарным отношением на множестве X называется всякое подмножество декартова произведения X х X.
Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.
Условимся отношения обозначать буквами R, S, Т, Р и др.
Если R - отношения на множестве X, то, согласно определению, R X х X. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества X х X, то оно определяет на множестве X некоторое отношение R.
Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (х, у) R или x R y. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у».
Отношения задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив пары элементов множества X, находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными - они аналогичны формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений при помощи графа.
Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множестве Х= (2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества X изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» - стрелкой (рис. 1).
На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение - «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис. 2).
Отношение можно задать при помощи предложения с двумя переменными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записывать, используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «х<у», «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3).
Для отношения R, заданного на множестве X, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное, - оно определяется так же, как соответствие, обратное данному. Например, если R - отношение «х меньше у», то обратным ему будет отношение «у больше х».
Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» - ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».
Свойства отношений
Мы установили, что бинарное отношение на множестве X представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению ХхХ. Это математическая сущность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые. Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рис. 3, отношения перпендикулярности, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 4) и будем их сравнивать.
Видим, что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. Эти петли - результат того, что отношение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлексивности или просто, что оно рефлексивно .
Определение. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если о каждом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.
R рефлексивно на Х <=> xRx для любого х X
Если отношение R рефлексивно на множестве X, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.
Примеры рефлексивных отношений:
Отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);
Отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе).
Существуют отношения, которые свойством рефлексивности на обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отношения перпендикулярности (рис. 4) нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков.
Обратим теперь внимание на графы отношений перпендикулярности и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения параллельности и равенства отрезков:
Если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;
Если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.
Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто симметричны.
Определение. Отношение R на множестве X называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R симметрично на X <=> (xRy => yRx)
Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.
В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных отношений присоединим еще такие:
Отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х);
Отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).
Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на множестве отрезков. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или просто антисимметрично.
Определение. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится .
антисимметрично на X <=> (xRy и х≠у => )
Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством антисимметричности, например, обладают:
Отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х);
Отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х).
Существуют отношения, не обладающие ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда граф отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке 5. Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Обратим внимание еще раз на одну особенность графа отношения «длиннее» (рис. 4). На нем можно заметить: если стрелки проведены от е к а и от а к с , то есть стрелка от е к с ; если стрелки приведены от е к b и от b к с , то есть стрелка и от е к с и т.д. Эта особенность графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый отрезок длиннее второго, а второй - длиннее третьего, то первый - длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или просто транзитивно.
Определение. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.
Используя символы, это определение можно записать в таком виде:
R транзитивно на X <=> (xRy и yRz => xRz)
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z , содержит стрелку, идущую от х к z . Справедливо и обратное утверждение.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z , то отрезок х равен отрезку z . Это свойство отражено и на графе отношения равенства (рис. 4)
Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d, а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны!
Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Определение. Отношение R на множестве X называется связанным, если для любых элементов х и у из множества X выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.
Используя символы, это определение можно записать в таком виде:
R связанно на множестве X <=> (х≠у xRy или yRx)
Например, свойством связанности обладают отношения «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и у можно утверждать, что либо х> у, либо у > х.
На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые свойством связанности не обладают. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа хну, что ни число х не является делителем числа у, ни число у не является делителем числа х.
Выделенные свойства позволяют анализировать различные отношения с общих позиций - наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств.
Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, заданном на множестве отрезков (рис. 4), то получается, что оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение «длиннее» на том же множестве отрезков антисимметрично и транзитивно, а отношение перпендикулярности-симметрично, но оно не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности. Все эти отношения на заданном множестве
отрезков связанными не являются.
Задача 1. Сформулировать свойства отношения R, заданного при помощи графа (рис. 6).
Решение. Отношение R- антисимметрично, так как вершины графа соединяются только одной стрелкой.
Отношение R - транзитивно, так как с парой стрелок, идущих от b к а и от а к с , на графе есть стрелка, идущая от b к с .
Отношение R - связанно, так как любые две вершины соединены стрелкой.
Отношение R свойством рефлексивности не обладает, так как на графе есть вершины, в которых петли нет.
Задача 2. Сформулировать свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.
Решение. «Больше в 2 раза» - это краткая форма отношения «число х больше числа у в 2 раза». Это отношение антисимметрично, так как выполняется условие: из того, что число х больше числа у в 2 раза, следует, что число у не больше числа х в 2 раза.
Данное отношение не обладает свойством рефлексивности, потому что ни про одно число нельзя сказать, что оно больше самого себя в 2 раза.
Заданное отношение не транзитивно, так как из того, что число х больше числа у на 2, а число у больше числа z на 2, следует, что число х не может быть больше числа z на 2.
Это отношение на множестве натуральных чисел свойством связанности не обладает, так как существуют пары таких чисел х и у, что ни число не больше числа у в два раза, ни число у не больше х в 2 раза. Например, это числа 7 и 3,5 и 8 и др.